위상정렬(Topology Sort) 이론

위상정렬

사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

 

이 알고리즘이 왜 필요할까? 어느 문제에서 사용할까?

 

예를들어, 대학교 커리큘럼처럼 선수과목이 있는 과목이 있다고 가정해보자.

 

고급 알고리즘을 수강하기 위해서는

자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘의 순서로 수강해야한다.

 

자료구조 -> 고급알고리즘 -> 알고리즘 의 순서로는 수강할 수 없다.

 

 

이와같이, 방향그래프의 방향성에 거스르지 않도록 나열해야하는 문제에서 위상정렬을 사용할 수 있다.

 

 

 

진입차수와 진출차수

 

위상정렬을 구현하기 위해서 진입차수와 진출차수의 개념을 짚고 넘어가야 한다.

 

진입차수 : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

진출차수 : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

 

 

 

위상 정렬 알고리즘 구현 방법

1. 진입 차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
3. 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

 

조건

그래프는 사이클이 없는 방향 그래프이어야 한다.

D(Direct) A(Acycle) G(Graph)

 

 

진입 차수가 0인 노드 1을 큐에 넣는다.

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	1	1	2	1	2	1

큐

1

 

 

 

1. 큐에서 노드 1을 꺼낸 후 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다. = 노드 2와 5의 진입차수를 1 감소시킨다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (2, 5)

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	1	2	0	2	1

큐

2, 5

 

 

 

1. 큐에서 노드 2을 꺼낸 후 노드 2에서 나가는 간선을 제거한다. = 노드 3과 6의 진입차수를 1 감소시킨다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (3)

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	2	0	1	1

큐

5, 3

 

 

 

 

1. 큐에서 노드 5를 꺼낸 후 노드 5에서 나가는 간선을 제거한다. = 노드 6의 진입차수를 1 감소시킨다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (6)

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	2	0	0	1

큐

3, 6

 

 

 

 

1. 큐에서 노드 3를 꺼낸 후 노드 3에서 나가는 간선을 제거한다. = 노드 4의 진입차수를 1 감소시킨다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (없음)

 

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	1	0	0	1

큐

6

 

 

 

1. 큐에서 노드 6를 꺼낸 후 노드 6에서 나가는 간선을 제거한다. = 노드 4의 진입차수를 1 감소시킨다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (4)

 

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	0	0	0	1

큐

4

 

 

 

1. 큐에서 노드 4를 꺼낸 후 노드 4에서 나가는 간선을 제거한다. = 노드 7의 진입차수를 1 감소시킨다.

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (7)

 

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	0	0	0	0

큐

7

 

 

 

1. 큐에서 노드 7를 꺼낸 후 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다. = 제거할 간선 없음

2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (없음)

 

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	0	0	0	0

큐

 

 

결과

1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7

 

 

특징

• 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우에는 여러가지 답이 존재할 수 있다.
  (이 경우에는 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상일때 정보를 저장해 활용하면 될 것이다.)
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
  (사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.)
• 스택을 이용한 DFS 에서도 위상 정렬을 수행할 수 있다.

 

 

 

소스 코드

from collections import deque


def topolgy_sort():
    result = []
    q = deque()

    for i in range(1, v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)

        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1

            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    for i in result:
        print(i, end=' ')


v, e = map(int, input().split())
indegree = [0] * (v+1)
graph = [[] for i in range(v+1)]

for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    indegree[b] += 1

topolgy_sort()

 

입력

7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

 

출력

 

 

 

 

위상정렬의 시간복잡도

위상 정렬을 수행할때 모든 노드(V)를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선(E)을 차례대로 제거한다.

한번 확인한 간선이나 노드는 다시 확인하지 않는다.

 

O(V + E)